integral of 5v(v^2+2)^2

解

\int 5 v (v^{2} + 2)^{2} d v

5 (\frac{v ^{6}}{6} + v^{4} + 2 v^{2}) + C

解答ステップ

\int 5 v (v^{2} + 2)^{2} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int v (v^{2} + 2)^{2} d v

拡張

v (v^{2} + 2)^{2} : v^{5} + 4 v^{3} + 4 v

= 5 \cdot \int v^{5} + 4 v^{3} + 4 v d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 5 (\int v^{5} d v + \int 4 v^{3} d v + \int 4 v d v)

\int v^{5} d v = \frac{v ^{6}}{6}

\int 4 v^{3} d v = v^{4}

\int 4 v d v = 2 v^{2}

= 5 (\frac{v ^{6}}{6} + v^{4} + 2 v^{2})

定数を解答に追加する

= 5 (\frac{v ^{6}}{6} + v^{4} + 2 v^{2}) + C