integral of (tan^5(x))/(sec(x))

Lösung

\int \frac{tan ^{5} ( x )}{sec ( x )} d x

- (- \frac{1}{3} sec^{3} (x) + 2 sec (x) + cos (x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{tan ^{5} ( x )}{sec ( x )} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int - \frac{( 1 - u ^{2} ) ^{2}}{u ^{4}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{( 1 - u ^{2} ) ^{2}}{u ^{4}} d u

Multipliziere aus

\frac{( 1 - u ^{2} ) ^{2}}{u ^{4}} : \frac{1}{u ^{4}} - \frac{2}{u ^{2}} + 1

= - \int \frac{1}{u ^{4}} - \frac{2}{u ^{2}} + 1 d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (\int \frac{1}{u ^{4}} d u - \int \frac{2}{u ^{2}} d u + \int 1 d u)

\int \frac{1}{u ^{4}} d u = - \frac{1}{3 u ^{3}}

\int \frac{2}{u ^{2}} d u = - \frac{2}{u}

\int 1 d u = u

= - (- \frac{1}{3 u ^{3}} - (- \frac{2}{u}) + u)

Setze in

u = cos (x)

ein

= - (- \frac{1}{3 cos ^{3} ( x )} - (- \frac{2}{cos ( x )}) + cos (x))

Vereinfache

- (- \frac{1}{3 cos ^{3} ( x )} - (- \frac{2}{cos ( x )}) + cos (x)) : - (- \frac{1}{3} sec^{3} (x) + 2 sec (x) + cos (x))

= - (- \frac{1}{3} sec^{3} (x) + 2 sec (x) + cos (x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - (- \frac{1}{3} sec^{3} (x) + 2 sec (x) + cos (x)) + C

\frac{d}{d x} ((4 x - 1)^{3} (5 x + 3)^{2})

\int \frac{1}{( 1 + cos ^{2} ( x ) )} d x

\int x 3 x - 1 d x

t a y l or e^{\frac{x}{2}}

im pl i c i t \frac{d y}{d x}, y^{3} = 4 x