integral of 1/((25x^2+16)^2)

Lösung

\int \frac{1}{( 25 x ^{2} + 16 ) ^{2}} d x

\frac{1}{640} (arctan (\frac{5}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{5}{4} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 25 x ^{2} + 16 ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{320 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{320} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{320} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{320} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{320} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{320} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{320} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{320} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{5}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{5}{4} x)))

Vereinfache

\frac{1}{320} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{5}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{5}{4} x))) : \frac{1}{640} (arctan (\frac{5}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{5}{4} x)))

= \frac{1}{640} (arctan (\frac{5}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{5}{4} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{640} (arctan (\frac{5}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{5}{4} x))) + C

\frac{d}{d x} (- x^{- 2} - 1)

d er i v a t i v e (x^{2} + 4 \cdot x + 2)^{9}

d er i v a t i v e f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 196}

d er i v a t i v e f (x) = x^{2} + x + 1

x \to 1 lim (\frac{3}{x ^{3} - 1})