integral of (2x-3)/(x^3+3x)

解

\int \frac{2 x - 3}{x ^{3} + 3 x} d x

\frac{2}{3} arctan (\frac{x}{3}) - ln ∣ x ∣ + \frac{1}{2} ln x^{2} + 3 + C

解答ステップ

\int \frac{2 x - 3}{x ^{3} + 3 x} d x

拡張

\frac{2 x - 3}{x ^{3} + 3 x} : \frac{2 x}{x ^{3} + 3 x} - \frac{3}{x ^{3} + 3 x}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{2 x}{x ^{3} + 3 x} d x - \int \frac{3}{x ^{3} + 3 x} d x

\int \frac{2 x}{x ^{3} + 3 x} d x = \frac{2}{3} arctan (\frac{x}{3})

\int \frac{3}{x ^{3} + 3 x} d x = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 3

= \frac{2}{3} arctan (\frac{x}{3}) - (ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 3)

簡素化

= \frac{2}{3} arctan (\frac{x}{3}) - ln ∣ x ∣ + \frac{1}{2} ln x^{2} + 3

定数を解答に追加する

= \frac{2}{3} arctan (\frac{x}{3}) - ln ∣ x ∣ + \frac{1}{2} ln x^{2} + 3 + C