limit as x approaches 1 of (x^{2n}-2x^n+1)/(x^{2m)-2x^m+1}

解

x \to 1 lim (\frac{x ^{2 n} - 2 x ^{n} + 1}{x ^{2 m} - 2 x ^{m} + 1})

\frac{n ^{2}}{m ^{2}}

解答ステップ

x \to 1 lim (\frac{x ^{2 n} - 2 x ^{n} + 1}{x ^{2 m} - 2 x ^{m} + 1})

ロピタルの定理を適用する

= x \to 1 lim (\frac{2 n x ^{2 n - 1} - 2 n x ^{n - 1}}{2 m x ^{2 m - 1} - 2 m x ^{m - 1}})

ロピタルの定理を適用する

= x \to 1 lim (\frac{2 n x ^{2 n - 2} ( 2 n - 1 ) - 2 n x ^{n - 2} ( n - 1 )}{2 m x ^{2 m - 2} ( 2 m - 1 ) - 2 m x ^{m - 2} ( m - 1 )})

値を挿入する

x = 1

= \frac{2 n \cdot 1 ^{2 n - 2} ( 2 n - 1 ) - 2 n \cdot 1 ^{n - 2} ( n - 1 )}{2 m \cdot 1 ^{2 m - 2} ( 2 m - 1 ) - 2 m \cdot 1 ^{m - 2} ( m - 1 )}

簡素化

\frac{2 n \cdot 1 ^{2 n - 2} ( 2 n - 1 ) - 2 n \cdot 1 ^{n - 2} ( n - 1 )}{2 m \cdot 1 ^{2 m - 2} ( 2 m - 1 ) - 2 m \cdot 1 ^{m - 2} ( m - 1 )} : \frac{n ^{2}}{m ^{2}}

= \frac{n ^{2}}{m ^{2}}