English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

integral from 0 to 1 of 2/(2x^2+3x+1)

Lösung

\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x ^{2} + 3 x + 1} d x

- 2 ln (\frac{2}{3})

Dezimale

0.81093 \dots

Schritte zur Lösung

\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x ^{2} + 3 x + 1} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x ^{2} + 3 x + 1} d x

Vervollständige das Quadrat

2 x^{2} + 3 x + 1 : 2 (x + \frac{3}{4})^{2} - \frac{1}{8}

= 2 \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{2 ( x + \frac{3}{4} ) ^{2} - \frac{1}{8}} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{7}{4}} \frac{8}{16 u ^{2} - 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 8 \cdot \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{7}{4}} \frac{1}{16 u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

16 u^{2} - 1 : - (- 16 u^{2} + 1)

= 2 \cdot 8 \cdot \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{7}{4}} \frac{1}{- ( - 16 u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 8 (- \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{7}{4}} \frac{1}{- 16 u ^{2} + 1} d u)

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot 8 (- \int_{3}^{7} \frac{1}{4 ( - v ^{2} + 1 )} d v)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 8 (- \frac{1}{4} \cdot \int_{3}^{7} \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 2 \cdot 8 (- \frac{1}{4} [\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}]_{3}^{7})

Vereinfache

2 \cdot 8 (- \frac{1}{4} [\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}]_{3}^{7}) : - 4 [\frac{1}{2} (ln ∣ v + 1 ∣ - ln ∣ v - 1 ∣)]_{3}^{7}

= - 4 [\frac{1}{2} (ln ∣ v + 1 ∣ - ln ∣ v - 1 ∣)]_{3}^{7}

Berechne die Grenzen:

\frac{2 ln ( 2 ) - ln ( 6 )}{2}

= - 4 \cdot \frac{2 ln ( 2 ) - ln ( 6 )}{2}

Vereinfache

= - 2 ln (\frac{2}{3})

\int 9 + \frac{1}{x} d x

\frac{d}{d t} (1 + 3 t)

\int - 56 cos (7 z - 5) d z

\int \frac{6 x ^{2} + 2 x + 7}{x ^{3} - 1} d x

\frac{d}{d θ} ((1 + 2 sin (θ)) sin (θ))