展開する ((x+yi)^5)/((x^2+y^2)^2)

解

展開する

\frac{( x + y i ) ^{5}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

\frac{x ^{5} - 10 x ^{3} y ^{2} + 5 x y ^{4}}{x ^{4} + y ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2}} + i \frac{y ^{5} - 10 x ^{2} y ^{3} + 5 x ^{4} y}{x ^{4} + y ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2}}

解答ステップ

\frac{( x + y i ) ^{5}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

(x^{2} + y^{2})^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}

= \frac{( x + i y ) ^{5}}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}}

(x + y i)^{5} = x^{5} + 5 i x^{4} y - 10 x^{3} y^{2} - 10 i x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + i y^{5}

= \frac{x ^{5} + 5 i x ^{4} y - 10 x ^{3} y ^{2} - 10 i x ^{2} y ^{3} + 5 x y ^{4} + i y ^{5}}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}}

標準的な複素数形式で

\frac{x ^{5} + 5 i x ^{4} y - 10 x ^{3} y ^{2} - 10 i x ^{2} y ^{3} + 5 x y ^{4} + i y ^{5}}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}}

を書き換える:

\frac{x ^{5} - 10 x ^{3} y ^{2} + 5 x y ^{4}}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}} + \frac{5 x ^{4} y - 10 x ^{2} y ^{3} + y ^{5}}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}} i

= \frac{x ^{5} - 10 x ^{3} y ^{2} + 5 x y ^{4}}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}} + \frac{5 x ^{4} y - 10 x ^{2} y ^{3} + y ^{5}}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}} i