展開する sqrt((x-y/(y'(x)))^2+(y-xy'(x))^2)

解

展開する

(x - \frac{y}{y ^{'} ( x )})^{2} + (y - x y^{'} (x))^{2}

\frac{x ^{2} ( y ' ( x ) ) ^{2} - 2 x yy ' ( x ) + y ^{2} + y ^{2} ( y ' ( x ) ) ^{2} - 2 x y ( y ' ( x ) ) ^{3} + x ^{2} ( y ' ( x ) ) ^{4}}{y ' ( x )}

解答ステップ

(x - \frac{y}{y ^{'} ( x )})^{2} + (y - x y^{'} (x))^{2}

拡張

(x - \frac{y}{y ^{'} ( x )})^{2} + (y - x y^{'} (x))^{2} : x^{2} - \frac{2 x y}{y ^{'} ( x )} + \frac{y ^{2}}{( y ^{'} ( x ) ) ^{2}} + y^{2} - 2 x y y^{'} (x) + x^{2} (y^{'} (x))^{2}

= x^{2} - \frac{2 x y}{y ^{'} ( x )} + \frac{y ^{2}}{( y ^{'} ( x ) ) ^{2}} + y^{2} - 2 x y y^{'} (x) + x^{2} (y^{'} (x))^{2}

結合

x^{2} - \frac{2 x y}{y ^{'} ( x )} + \frac{y ^{2}}{( y ^{'} ( x ) ) ^{2}} + y^{2} - 2 x y y^{'} (x) + x^{2} (y^{'} (x))^{2} : \frac{x ^{2} ( y ^{'} ( x ) ) ^{2} - 2 x y y ^{'} ( x ) + y ^{2} + y ^{2} ( y ^{'} ( x ) ) ^{2} - 2 x y ( y ^{'} ( x ) ) ^{3} + x ^{2} ( y ^{'} ( x ) ) ^{4}}{( y ^{'} ( x ) ) ^{2}}

= \frac{x ^{2} ( y ^{'} ( x ) ) ^{2} - 2 x y y ^{'} ( x ) + y ^{2} + y ^{2} ( y ^{'} ( x ) ) ^{2} - 2 x y ( y ^{'} ( x ) ) ^{3} + x ^{2} ( y ^{'} ( x ) ) ^{4}}{( y ^{'} ( x ) ) ^{2}}

累乗根の規則を適用する:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

, 以下を想定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{x ^{2} ( y ^{^{'}} ( x ) ) ^{2} - 2 x y y ^{^{'}} ( x ) + y ^{2} + y ^{2} ( y ^{^{'}} ( x ) ) ^{2} - 2 x y ( y ^{^{'}} ( x ) ) ^{3} + x ^{2} ( y ^{^{'}} ( x ) ) ^{4}}{( y ^{^{'}} ( x ) ) ^{2}}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a,

, 以下を想定

a \geq 0

(y^{'} (x))^{2} = y^{'} (x)

= \frac{x ^{2} ( y ^{^{'}} ( x ) ) ^{2} - 2 x y y ^{^{'}} ( x ) + y ^{2} + y ^{2} ( y ^{^{'}} ( x ) ) ^{2} - 2 x y ( y ^{^{'}} ( x ) ) ^{3} + x ^{2} ( y ^{^{'}} ( x ) ) ^{4}}{y ^{^{'}} ( x )}